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5-3  用SSGILM法計算帶有非線性聯軸器軸系穩態響應

為了求得未知向量{a}，還需做以下工作：

一、向量函數{r（{ a^（k）}）}的計算

要計算{r（{ a^（k）}）}的值，首先需要求得頻域向量{q({a^(k)})}和{f_J({a^(k)})}的值。

1．{q({a^(k)})}的計算

{q({a^(k)})}為聯軸器恢復力（，，，τ）的傅立葉級數展開式各簡諧分量的系數向量。對于給定的{ a^（k）}，不能由時域表達式（，，，τ）求得頻域內的{q（{ a^（k）}）}，而必須按以下步驟計算。

首先，由給定的頻域向量{q（{ a^（k）}）}，根據傅立葉展開式（5-13）求得，在一個周期內的N個時域離散值，記為Y（1）～Y（N）和DY（1）～DY（N），其次，由下式求得的幅值

然后，將以及，的時域離散值代入第三章中得到的恢復力（，，，τ）的表達式（3-8）、（3-12）、（3-27）和（3-41）式，算得對應于{ a^（k）}的恢復力Q在一個周期內N個時域離散值，再對這N個Q的時域離散值進行FFT變換，即可得到非線性恢復力Q在頻域內的各諧波分量的系數向量{q（{ a^（k）}）}

2. {f_j（{ a^（k）}）}的計算

{f_j（{ a^（k）}）}是式（5-6）中恢復力F_j的傅立葉級數展開式各諧波分量的系數向量。當向量{ a^（k）}給定時，首先由5-2節中所述方法 算得各個和（j=1，2，…，n），其次由（5-6）式中恢復力F_j的表達式算得一個周期內的時域離散值，然后對這些離散值進行FFT變換，即可得到頻域中Fj的各諧波分量的系數向量{f_j（{ a^（k）}）}。

算得{q（{ a^（k）}）}和{f_j（{ a^（k）}）}后，代入（5-15）式即可得到{r（{ a^（k）}）}。

二、雅可比矩陣[J（{ a^（k）}）]的計算

為計算方便起見，將雅可比矩陣式（5-21）分解成三個矩陣：

[J（{ a^（k）}）]=[J₁]+[J₂]+[J₃]                （5-30）

1.[J₁]的計算

由（5-15）和（5-21）式可得：

        [J₁]=

[J₂]的計算實際上就是對{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計算。由于恢復力Q的函數表達式是{ a^（k）}的隱函數，因此不可能由Q的表達式直接進行FFT變換來求得{q（{ a^（k）}）}，也可能由{q（{ a^（k）}）}直接對{ a^（k）}；求偏導數來得到[J₂]，可采用以下方法來計算[J₂]：

由第三章中的式（3-8）、（3-12）、（3-41）和本章中的式（5-13）可得：

式中，/，，/，，/可以直接由Q的表達式和（5-13）進行解析計算得到，/{ a^（k）}，/{ a^（k）}也可以由（5-13）式直接進行解析計算得到。而/{ a^（k）}的計算須用微商的方法來進行計算，即對一個給定的{ a^（k）}，選取增量△{ a^（k）}，然后計算一個周期內對應的（{ a^（k）}+△{ a^（k）}）和（{ a^（k）}）值，得：

由（5-32）式算得/{ a^（k）}的時域離散值后，進行FFT變換即可得到頻域中的{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}。

3. [J₃]的計算

[J₃]的計算實際上就是偏導數{f_j（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計算。計算方法與計算{q（{ a^（k）}）}的方法類似，故不再贅述。對于[J₂]，[J₃]、分別有式（5-34）、（5-35）。

在計算出{r（{ a^（k）}）}和{J（{ a^（k）}）}之后，就可以按5-2節中發展的ILM法進行搜索迭代計算，由初始向量{a^（0）}不斷搜索逼近滿足精度要求的{ a^（k+1）}，然后代入（5-10）、（5-11）、（5-12）和（5-7）即可求得聯軸器從動端質量塊m_b的穩態響應y_b以及軸系中各圓盤轉子穩態應Y。同時還可以得到對應的幅頻圖。

5-4  小結

本章對帶有非線性聯抽器的n+1個自由度軸系在圓盤質量偏心產生的激勵力作用下穩態響應計算方法進行了研究，以GLM法為基礎，提出了一種稱為SSGILM (Separate System-Ga1erkin and Imp-r0ved Leenberg-Marquardt的方法，用于計算局部具有非線性特性軸系的穩態響應。

主要工作如下：

1.建立帶有非線性聯鈾器n+1個自由度軸系的力學模型和數學模型，為了求解這種局部含有非線性元件的軸系的穩態響應，將軸系分成兩個子系統，即含有n個自由度的線性軸系和含有非線性變參數的聯軸器子系統。

2.對線性軸系子系統運動微分方程組用正則坐標變換進行解藕處理；對非線性變參數的聯軸器子系統運動微分方程用Galerkin法，變成一組隱含系數向量{a}的非線性代數方程組。

3.針對LM法的缺點，采用已有的選擇合適μ值的方法和加快收斂速度的算法對LM法進行了改進，用改進算法對上面得到的非線性方程組中的未知向量{a}進行搜索計算，最后解出局都具有非線性特性軸系的穩態響應。

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