二、考慮頻率影響的數學模型
在這種情況下，聯軸器的數學模型的表達式為（3-7）式，下面分別討論
l和2函數表達式的結構形式：
1.非遲滯非線性彈性恢復力l的數學模型
由試驗研究知道，聯軸器的彈性恢復力不僅是振幅的的函數而且還是頻率的函數，隨著頻率的增大，在一定頻率范圍內，彈性恢復力逐漸減小，然后趨于一定值，根據這一特性，在建造彈性恢復力新的數學模型時，引進一個能描述這一特性的指數函數項e-flr（f），這樣，新構建的彈性恢復力數學模型為：
同時，定義幾個新函數參數，a2i-1（f）為剛度幅值頻率影響系數，它表示聯軸器彈性元件各階剛度的幅值受頻率變化影響的程度；β2i-1（f）稱為剛度幅值頻率衰減系數，表示彈性元件各階剛度的幅值隨頻率增加的衰減程度；y2i-1（f）稱為剛度頻率衰減系數，表示彈性元件各階剛度隨頻率增加的衰減速率，y2i-1（f）愈大，剛度值隨頻率減小的速度就愈慢，反之，則愈快。從理論上講，只有當f值趨于無窮大時，exp{-f/[ y2i-1（f）]}才趨于零，各階剛度
2i-1（A，f）才趨于各自的定值K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）]。但事實上，由于指數曲線開始變化較大，而后逐漸緩慢，所以，實際上f達到一定值后，exp{-f/[ γ2i-1（f）]}已經很小了，例如，設f=5 γ2i-1（f），這時有：
2i-1（A，f）= K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）（1-e-5）]
= K
2i-1（A）[α
2i-1（f）-β
2i-1（f）×0.99326] （3-20）
當頻率f=8，10，…，30赫茲時，剛度不再隨頻率的變化而變化，由此可得γ2i-1（f）=1，6,2，…，6；α2i-1（f）-β2i-1（f）×0.99326=βc，這些參數值和關系式在辨識（3-19）式中參數時，可作為已知條件應用。
從以上分析可知，(3-18）式表示的數學模型能客觀地反映聯軸器彈性恢復力隨振幅和頻率變化的規律。
2.遲滯非線性阻尼力2的數學模型
當同時考慮振幅和頻率對遲滯阻尼力2的影響時，2將是振幅和頻率的函數，如果經過參數辨識說明（3-14）形式的數學模型能合理地描述阻尼力，那么，在同時計及振幅和頻率對遲滯阻尼力2的影響時，我們仍建立遲滯阻尼力的數學模型表達式為（3-14）式的形式，不過其中各系數不僅是振幅A的函數而且還是頻率f的函數，建立的第二種數學模型仍以等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，與(3-15）式所不同的是，在此建立聯軸器阻尼耗能的函數時，同時考慮聯軸器遲滯回線面積隨振幅A和頻率f變化的規律，而在建立（3-15）式時僅考慮聯軸器遲滯回線面積隨振幅A的變化規律。為了敘述方便，這些問題在參數辨識一節中討論。這樣，這二種阻尼力模型為：
綜上所述，將（3-12）式與（3-18）式比較，將（3-14）～（3-15）式與（3-21）～（3-22）對應式比較可知，后者同時考慮了振幅A和頻率f對聯軸器恢復力的影響，因而適用范圍較前者僅考慮振幅A的影響時更大，但后都數學表達式復雜，大大地增加了參數的辨識難度。由試驗研究知，頻率變化對恢復力影響范圍較小，為了簡化計算用（3-12）和（3-14）～（3-15）較好。
3-4 聯軸器數學模型參數辨識
本節將利用試驗數據，根據上節建立的聯軸器恢復力數學模型的類型，聯分別選用線性參數辨識方法和非線性參數辨識方法，按最小二乘法原理，辨識聯軸器數學模型中的參數，找出各參數與振幅和頻率的關系，得到聯軸器恢復力由彈性和阻尼力描述的函數關系式。
一、參數辨識的難點
聯軸器數學模型函數關系的復雜性以及函數關系式中參數的非線性都給參數辨識工作帶來困難。針對這些情況，對數學模型中某些參數隨振幅和頻率變化規律還不能給出表達式時，我們先求出這些模型在不同振幅和頻率下，各參數隨振幅和頻率變化的離散值，然后根據這些離散值隨振幅和頻率變化的規律，來定出函數表達式，在此基礎上再進一步找出這些參數與振幅和頻率的函數關系，最后得到聯軸器恢復力與振幅、頻率、位移和速度的表達式。
二、參數辨識
1.辨識不考慮頻率影響數學模型的參數
不考慮頻率影響時聯軸器的數學模型為（3-12）～（3-15）式，
a.非線性彈性恢復力l數學模型中參數的辨識
此中情況下，l的表達式為（3-12）和（3-13）式。由這兩式可知，模型中含有九階的高次非線性彈性力，其各階動剛度K2i-1 (A）是振幅的函數，數學模型為一個n′階的冪函數多項式，K2i-1 (A）是各參數b0，2i-1～bn，2i-1 (i=1,2，…，5）的線性函數。于是各階動剛度K2i-1 (A）中各參數辨識可歸結以下最小二乘法問題：
已知K2i-1 (A）是關于自變量X=[A，A2，…An′]T和待定參數B=[ b0，2i-1，b1，2i-1，…，bn′，2i-1]T的形式已知的函數（3-13)，簡寫成：
K2i-1 (A）=f（X，B） （3-23）
今給出（X，K2i-1 ）的n對試驗值：
（XK，K2i-1，K） （k=1，2，…，n） （3-24）
要求確定參數B使
得一組線性方程組，在n>k的情況下，聯立求解這一線性方程組即可求得唯一的一組B值。根據此法求得（3-13）式中參數值并代回可得：
將（3-27）式中剛度函數作成曲線如圖3-3(a）-（e）所示，由一階動剛度函數圖3-3(a）可知，振幅在lmm～2mm范圍內時，動剛度隨振幅增大而增大，呈硬特性；當振幅在2mm～7mm范圍內時，動剛度隨振幅增大而減小，呈軟特性；當振幅在7mm～8mm范圍時，動剛度隨振幅增大略有回升。由此圖可知，在聯軸器初始小振幅和極限振幅附近范圍內，動剛度呈硬特性，而在中間振幅范圍內呈軟特性。K5（A）和K9（A）也具有類似的特性。而K3（A）和K7（A）在小振幅時呈軟特性，這樣的動剛度特性滿足船舶緩沖減振降噪的要求，即在一般低能量風浪流作用下，該聯軸器鋼絲繩元件的變形小，動剛度大，呈硬特性，這能保證船舶推進軸系的基頻高于風浪流的顯著能量頻率；在大能量風浪流和沖擊作用下時，聯軸器由于載荷增大而變形增大，這種情況下動剛度軟化，使船舶推進軸系頻率變小，向遠離大能量風浪流和沖擊顯著能量頻率一側偏移，在遲滯阻尼下耗散能量，使軸系沖擊振動響應降低。由（3-27）式和（3-12）式可作出相應的彈性恢復力單值曲線如圖3-4所示。將圖3-4中代表彈性恢復力的單值曲線與圖3-2中的單值曲線比較可知，(3-12）式能較好地描述聯軸器彈性恢復力隨振幅變化的規律。
b.非線性阻尼力數學模型中參數的辨識
此情況下，建立了二種數學模型（3-14）式和（3-15）式。對于（3-14）式描述的模型，2是參數n的非線性函數，因此，在進行參數辨識時，需要用非線性參數的辨識方法。此時，這種模型中各參數的辨識可歸結為如下的最小二乘法問題：
已知2是關于自變量X=[x1，x2，…，xp]T和待定參數B=[b1，b2，…，bm]T的形式已知函數（3-14）式，簡寫成：
2=f（X，B） （3-28）
對于給定的n組試驗數據值（Xk，2k），要求確定參數B使
為最小。對于這種非線性參數識別，很難直接進行求解，通常采用逐次逼近的方法處理，在此采用高斯-牛頓法來辨識。高斯-牛頓法的基本思想是：先給出各參數bi的一個初始值，記為
，初值與真值之差為△i，即有：
bi=+△i （i=1，2，…，m） （3-30）
這樣，確定bi的問題就變成了確定△i的問題。為確定bi，在鄰域內將函數f（X，B）作代臺勞級數展開，并略去△i的二次及二次以上項得：
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