第三章 具有非線性遲滯特性鋼絲繩聯軸器建模與參數辨識
3-1 引言
由上章對聯軸器振動試驗研究結果可知，在大位移振動情況下，聯軸器表現出非線性遲滯特性．這一特性直接與聯軸器動剛度及阻尼有關，當這種聯軸器用于船舶推進軸系時，將影響到軸系的動力特性，因此弄清楚聯軸器恢復力與動剛度和阻尼的關系，即建立聯軸器恢復力的數學模型是十分重要的，對于深人分析研究推進軸系的動力特性也是不可缺少的。
由鋼絲繩聯軸器的
-x遲滯回線可知，聯軸器的遲滯特性不宜用雙線性模型來描述，主要原因是雙線性模型與聯軸器的動態遲滯回線外形相差甚遠，雙線性模型將系統剛度系數處理成二個線性剛度系數。這不足以描述鋼絲繩聯軸器的非線性遲滯特性中的非線性剛度系數，雙線性模型阻尼僅處理為干摩擦阻尼，也不足以描述聯軸器阻尼的復雜成分。一階微分方程模型主要用于遲滯系統的隨機響應分析中，這種模型用于計算遲滯系統的穩態動力響應很不方便，模型中各參數的物理意義不明確，模型形式不利于各參數的辨識，而且彈性力和阻尼力在恢復力表達式中不顯現，不利于理論分析。基于平均和等效原理的跡法和以此為基礎K0等建立的模型都有自己的不足，前者只能描述遲滯恢復力與位移和速度的關系，而不能全面描述遲滯恢復力與各振動參數的關系，后者只能描述三個階次非線性彈簧剛度，其應用范圍受到限制。由此可知，現有描述遲滯特性的數學模型都不能用來描述聯軸器的非線性遲滯特性。因此，本章將在前人研究的基礎上，研究聯軸器動剛度和阻尼的特性，建立既能合理描述聯軸器非線性遲滯特性又能滿足較高精度要求的數學模型。
3-2 擬合分解恢復力-位移遲滯回線
上一章的試驗研究表明，鋼絲繩彈性聯軸器的本構關系十分復雜，其恢復力是聯軸器動剛度和阻尼的函數，而動剛度和阻尼又是振幅和頻率的函數。因此，我們將依靠試驗獲得的測量數據，在跡法和文獻的基礎上，深人研究聯軸器遲滯特性，建立聯軸器的數學模型。
由前面聯軸器位移-恢復力試驗可知，遲滯回線可以分為上、下兩條，分別對應于速度大于零和速度小于零。在鋼絲繩彈性元件性質相同和安裝幾何對稱的情況下，上、下兩條恢復力曲線可以認為是位移反對稱的。于是可以用冪函數多項式，按最小二乘法原理來擬合代表試驗數據的上、下兩條恢復力曲線，設用于擬合上遲滯回線數據的冪函數多項式為：
根據反對稱，用于擬合下遲滯回線數據的冪函數多項式為：
式中，H，L分別為聯軸器遲滯恢復力上、下曲線，x為位稱，ai為冪函數多項式系數。
冪函數多項式所取項數n按擬合的遲滯回線形狀和對表達式要求的精度而定。將（3-1）和（3-2）式中冪函數多項式的奇、偶次項分開寫，可進一步表示為：
經以上數學處理，聯軸器的動態遲滯回線可以分解成1（x）和2（x，
）兩部分，即聯軸器的遲滯恢復力由兩部分組成。式中n取奇數。從幾何意義上講，第一部分為一條單值非線性函數曲線，第二部分為一條雙值的非線性閉合曲線。從物理意義上講，第一部分代表遲滯恢復力中的非遲滯非線性彈性恢復力；第二部分代表遲滯恢復力中的純遲滯非線性阻尼力。
由試驗知，聯軸器的遲滯恢復力不僅是位移x和速度的函數，而且還是振幅A和頻率ω的函數，因此遲滯恢復力的數學模型設為：
（x，
，A，ω）=1（x，A，ω）+2（x，A，，ω） （3-7）
由此可見，遲滯恢復力的函數關系相當復雜，
由試驗還可以知道，頻率增大至一定值后動剛度和阻尼僅是振幅A的非線性函數，在這種情況下，遲滯恢復力的數學模型可表示為：
（x，，A）=1（x，A）+2（x，A，） （3-8）
由此，我們得到兩種形式的聯軸器恢復力數學模型，前者為考慮頻率影響的數學模型，后者為不考慮頻率影響的數學模型。
至此，盡管我們將遲滯恢復力擬合分解成了兩部分，但是l和2取什么樣的函數形式，仍然是一個難題。對此，分三步來研究。第一步先求出不同頻率和振幅下遲滯數據回線的擬合遲滯回線，得到對應的各階離散的剛度系數值，以及遲滯阻尼耗能值；第二步再找出這些數值與頻率、振幅的函數關系表達式，從而得到l和2的函數關系表達式，第三步，通過參數辨識，尋找出l和2表達式中的各參數。
由遲滯回線的形狀可知，聯軸器具有強非線性的特性，為了在數學模型中反映出強非線性的特性，選9階冪函數多項式來擬合上、下遲滯回線（n=9)，對一定頻率和振幅的每一組試驗遲滯回線數據，由線性最小二乘法原理一辨識對應的各階擬合系數。對圖2-14中各遲滯回線數據進行擬合，將所得的擬合遲滯回線與圖2-14的遲滯回線畫在一起，如圖3-1（a）所示，由此圖可知，兩者重合性很好。
為了說明5階和7階冪函數多項式擬合的精度情況，以振幅A=8毫米，頻率為1赫茲為例，畫出擬合回線分別如圖3-1（b）、3-1（c）所示，將它們與對應試驗回線圖3-1（d）比較，可知7階擬合精度高于5階。圖3-1（e）為圖3-1（b）與圖3-1（d）的合圖。
為了得到（3-6）式所示的l，2，將擬合得到的各冪函數多項式奇、偶次項分開寫成（3-5）式形式并作對應的曲線圖，如圖3-2（見34頁）所示，這樣就將恢復力分解成了單值非線性函數曲線和雙值的非線性函數閉合曲線，由此得到了對應的l（x）和2（x，）的若干組函數表達式：
式（3-9）中各系數a2i-1實質上代表聯軸器彈性恢復力在對應頻率、振幅下的各階剛度系數。
3-3 聯軸器數學建模
一、不考慮頻率影響的數學模型
由于聯軸器恢復力僅在一個小范圍內受頻率的影響，當頻率達到一定值后，聯軸器恢復力僅是振幅的函數，在這種情況下，數學模型的表達式為（3-8）式。下面分別研究l和2函數表達式的結構形式。
1.非遲滯非線性彈性恢復力l的數學模型
在不考慮頻率影響的情況下，聯軸器彈性恢復力，由以上分析，可以建立其數學模型如下：
式中K1（A）--K9（A）是鋼絲繩聯軸器第一～九階彈簧剛度函數。
這樣的數學模型充分地考慮了高階非線性彈性力的影響。式中K2i-1（A）僅是振幅的函數，其數學模型為：
（i=1，2，3，4，5） （3-13）
式中n′根據精度要求而定。
2.遲滯非線性阻尼力2的數學模型
由擬合遲滯回線分解圖3-2中各閉合曲線知，聯軸器中的阻尼成分非常復雜，有可能是多種阻尼的組合，根據聯軸器彈性元件變形及工作情況，可以認為聯軸器阻尼含有粘性阻尼和干摩擦阻尼的成份較多，因此，在這種情況下我們建立以下二種阻尼力模型：
(1）復合型阻尼力模型
2=a[a0+a2x2+a4x4+a6x6]sgn（）+C||nsgn（） （3-14）
式中第一項代表除粘性阻尼力和干摩擦力以外的其它阻尼力成份，系數α決定這些阻尼力所占比例，故定義為阻尼比例控制系數；第二項代表粘性阻尼力和干摩擦阻尼力綜合阻尼力成份，當n=o時，這項為Csgn（），代表干摩擦阻尼力，當n=1時，這項為C||sgn（），代表粘性阻尼力，當n在（0，1）區間變化時，第二項代表的是粘性阻尼力和干摩擦阻尼力的混合阻尼力，系數n決定兩種阻尼各占份額多少，定義為粘摩阻尼分配系數。式中a0,a2，a4，a6，C,n和α均是振幅的函數。
(2）等效粘性阻尼力模型
用等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，其恢復力構建為：
2=C（A，ω） （3-15）
由于聯軸器阻尼成份的復雜性，以上建立的二種阻尼恢復力模型中哪一種用來描述聯軸器阻尼力更為合理，有待于參數辨識后才能確定。對于模型（3-14)，我們將先辨識出在不同振幅下模型中的各個參數，然后再找出這些參數與振幅的函數關系。對于模型（3-15)，我們將根據一個振動周期內遲滯非線性阻尼所耗散的能量與等效粘性阻尼所消耗的能量相等的能量關系找出等效粘性阻尼函數C(A，ω）與振幅和頻率的關系。
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