故障樹中各事件發生的概率用模糊數來表示，根據模糊數的運算法則式（3-13）、（3-15）和模糊算子AND和OR的計算方法式（3-18）、（3-20）即可確定頂事件發生的模糊概率。假定事件發生概率Pi的參照函數為正態對稱型，其隸屬函數如式（3-11）所示，且與均值mi相差±40%的點x的隸屬度為0.08，則
故αi=βi=0.2517mi，各底事件的故障概率均值mi及左右分布αi、βi如表3-4所示。
表3-4 底事件的故障概率均值mi及左右分布αi、βi
| 代號 |
底事件 |
均值mi |
分布αi和βi |
代號 |
底事件 |
均值mi |
分布αi和βi |
| X1 |
電源未開 |
2×10-5 |
5.034×10-6 |
X9 |
導架接觸失效 |
3×10-4 |
7.551×10-5 |
| X2 |
電源開關失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
X10 |
活齒接觸失效 |
2×10-4 |
5.034×10-5 |
| X3 |
系統保險絲燒斷 |
3×10-4 |
7.551×10-5 |
X11 |
殼體接觸失效 |
2×10-4 |
2.517×10-5 |
| X4 |
軸Ⅰ斷裂 |
3×10-4 |
7.551×10-5 |
X12 |
軸承1失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
| X5 |
軸Ⅱ斷裂 |
5×10-4 |
1.258×10-4 |
X13 |
軸承2失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
| X6 |
活齒接觸失效 |
2×10-4 |
5.034×10-5 |
X14 |
軸承3失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
| X7 |
主動軸接觸失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
X15 |
軸承4失效 |
1×10-4 |
2.517×10-5 |
| X8 |
活齒攔觸失效 |
2×10-4 |
5.034×10-5 |
|
|
|
|
據式（3-20）及表3-3中所列的真值函數形式，計算可得各中間事件及頂事件發生概率的模糊數為：
從中間事件發生概率的模糊數看，中間事件G3發生的概率
比其他中間事件發生的概率都要高，也就是說活齒運動副失效是造成頂事件發生的主要因素，而在導致G3發生的各中間事件里，事悠揚G5發生的概率
最大，即活齒與導架的運動副失效是導致活齒運動副失效的關鍵，因此為降低頂事件發生概率，提高整個系統可靠性，應盡量提高導架與活齒嚙合副的接觸強度的可靠性。頂事件發生概率棄
的隸屬函數曲線如圖3-4所示。它表示與圓柱正弦活齒減速器輸出軸不能傳遞扭矩故障概率均值0.0036相差士40%的點的隸屬函數為0.08，分布α=β=0.0009。可見此系統的頂事件模糊概率的均值和左右分布都很低，所以該系統是安全的。
3.4基于Monte-Carfo方法的減速器系統可靠性數字仿真
在某些復雜系統可靠性分析中，采用傳統的人工評定方法很難完全解決系統可靠性的有關問題，數字仿真為解決這類問題，提供的一條新的有效途徑。通過仿真不僅可以求解系統可靠性的點估計值，還可以得到統計值的分布函數，這對深入了解系統具有很大的幫助。此外，借助仿真運行的過程還可以系統內各部分可靠性所產生的作用，獲得系統內部可靠性更多的信息，這對改進系統和重新設計系統具有很大的指導意義。
3.4.1減速器系統仿真模型的建立
采用Monte Carlo法對減速器系統進行可靠性數字仿真，系統U可表示為
U={Z1，Z2，…，Z15} （3-22）
式中Zi——系統第i個基本部件。每個基本部件的失效分布函數為Fi（t), (i=1,2，…15）。
由故障樹表達的邏輯關系可以看出頂事件即為系統的失效事件，底事件即為基本部件的失效事件。設故障樹的結構函數為Y，Y包括與門和或門。頂事件在t時刻的狀態變量用Φ（t）表示，則
且Φ（t）的取值為
Φ（t）=Y[
（t）] （3-24）
式中（t）——第i個底事件的狀態變量。
且有
3.4.2減速器系統可靠性仿真流程
用Monte Carlo法對圓柱正弦活齒減速器各基本部件壽命進行隨機抽樣，以獲得每個基本部件故障時間的簡單樣本。在第j次抽樣的，第i個基本部件失效時間抽樣值為
tij=Fi-1（ηij） （3-26）
式中ηij——第i個基本部件在第j次抽樣的的隨機數。
根據式（3-25）和式（3-26），可知在第j次抽樣中第i個底事件在t時刻的狀態變量為
在第j次抽樣中，若系統失效時刻時tkj，利用故障樹的結構函數可知頂事件在t時刻的狀態變量為
第j次抽樣，可產生15個基本部件的失效時間tij(i=1,2，…，15)，將失效時間按照由小到大的順序排列為t?1，t?2，…，t?15，與之對應的基本部件順序表示為Z1′，Z2′，…，Zk′，…，Z15′。首先將基本部件Z1′設為失效，即t=t?1,而其它部件均未失效，檢查此時系統U是否失效，即Φj（t?1）是否為1。若減速器系統未失效，則將基本部件Z2′設為失效，檢查系統U此時是否失效…，直到基本部件Zk′失效，即t=t?k時，此時Zk′之前的基本部件均已失效，如果系統處于失效狀態，即Φj（t?k）=1，則第j次抽樣時系統壽命抽樣值為tkj<，其值為t>kj=t?k。至此，第j次抽樣結束。依此類推可得到各次抽樣的系統壽命抽樣值。經過N次抽樣后，對其作統計處理，統計N次抽樣各底事件發生引起頂事件發生的頻率，根據大數定理，當抽樣次數足夠多時，事件發生的頻率將趨近事件發生的概率，進而可以計算系統的可靠性指標。本文取抽樣次數為5000次，并分析其誤差范圍。可靠性仿真的流程圖見圖3-5。
采用區間統計法，首先設減速器最大工作時間為Tmax，將它分為m個相等區間，則第r個區間記為[tr-1、tr]，r=1，2，…，m。設系統仿真的總次數為N,若第j次抽樣減速器失效的時間為tk，判斷落入哪個工作區間[tr-1，tr]內，并利用Φj（tk）統計出N次仿真后，減速器失效時間的分布，即
式中 △mr——系統在[tr-1，tr]區間內的失效次數。
t≤tr的減速器失效數為
在通掃故障樹足夠多次九的基礎上，通過對獲得的數據進行分析，即可得到圓柱正弦活齒減速及各組成部分的各項可靠性指標。計算方法如下：
系統可靠度為：
式中 nsi——基本部件Zi失效引起系統失效的次數；
ns——系統失效總次數。
基本部件的模式重要度表示系統可靠性的薄弱環節，WN（Zi）最大的元件就是系統最薄弱的環節。
3.4.3減速器系統可靠性數字仿真分析結果
根據故障樹對圓柱正弦活齒減速器進行可靠性的數字仿真研究。各基本部件壽命分布參數見表3-5，采用上述算法編程求解。通掃故障樹5000次，產生減速器壽命抽樣值5000個，設系統最大工作時間Tmax為1000Oh，將Tmax分為1000個區間，統計減速器壽命抽樣落入各區間的次數，得到系統平均壽命，即減速器平均無故障工作時間MTBF為3086h，壽命的方差為6.39×106。根據仿真結果進行擬合分析，系統壽命服從威布爾分布，即
式中 ηs＝3.26×104；βs＝1.1605。
仿真的系統可靠度曲線Rs、擬合的可靠度曲線R0，及R0的置信上、下限曲線RU、RL如圖3-6所示。減速器可靠性仿真的誤差分析及基本元件的模式重要度如表3-6和表3-7所示。
表3-5 基本元件失效分布類型及參數
從圖3-6可以看出，擬合的可靠度R0與仿真的可靠度Rs十分接近，均介于置信度為95%時的置信上、下限RU、RL之間，并且仿真誤差很小。因此，系統可靠度仿真方法是有效的。當仿真次數增大時，仿真結果將更令人滿意。
表3-6 減速器可靠性仿真誤差分析
| tr（h） |
不可靠度估值 （tr） |
可靠度RS（tr） |
仿真的誤差估計ε |
| 100 |
0.0056 |
0.9944 |
＜0.0021 |
| 500 |
0.424 |
0.9576 |
＜0.0056 |
| 1000 |
0.960 |
0.9040 |
＜0.0082 |
| 3000 |
0.3010 |
0.6990 |
＜0.0127 |
| 8000 |
0.6350 |
0.3650 |
＜0.0133 |
從表3-7模式重要度WN（Zi）可以看出，導架的模式重要度WN（Z9）遠遠大于其他部件的模式重要度，表明導架是系統薄弱環節，其可靠性對減速器的壽命影響最大，導架的失效模式主要是疲勞點蝕及磨損失效等，所以提高導架的接觸強度的可靠性是改善圓柱正弦活齒減速器可靠性的關鍵。
表3-7 基本元件模式重要度
| 部件代號 |
WN（Zi） |
部件代號 |
WN（Zi） |
部件代號 |
WN（Zi） |
| 1 |
0.0378 |
6 |
0.0678 |
11 |
0.1076 |
| 2 |
0 |
7 |
0.1026 |
12 |
0.0788 |
| 3 |
0 |
8 |
0.0690 |
13 |
0.0804 |
| 4 |
0.0134 |
9 |
0.2006 |
14 |
0.0778 |
| 5 |
0.0174 |
10 |
0.0730 |
15 |
0.0738 |
3.5本章小結
1.對圓柱正弦活齒傳動進行了接觸強度的模糊可靠性分析。基于模糊數學方法和可靠性設計理論，將應力和強度分別視為隨機變量和模糊變量，建立了零件接觸強度的模糊可靠性數學模型和計算公式；
2.在分析圓柱正弦活齒減速器組成結構及各種失效可能的基礎上，建立了以“輸出軸不能傳遞扭矩”為頂事件的減速器故障樹。通過定性分析，找出了減速器的全部最小割集，即導致頂事件發生的所有可能方式。給出了減速器中間事件和頂事件的真值函數計算公式；
3.將模糊數學引入圓柱正弦活齒減速器的故障樹分折中。采用參照函數為正態型的L-R模糊數描述各底事件的發生概率，根據模糊數的運算法則和模糊算子AND和OR的計算方法，推導出圓柱正弦活齒傳動系統輸出軸不傳遞扭矩頂事件發生的模糊概率及其隸屬函數分布；
4.為模擬真實工況下減速器的可靠性情況，在建立的故障樹基礎上，采用Mollte-Carlo方法隨機生成基本事件的故障概率，對減速器進行可靠性數字仿真。通過分析仿真結果，得到減速器系統的壽命分布及各零件模式重要度，為分析、改進系統指明了方向。
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