第五章 帶有非線性聯軸器軸系穩態響應計算方法的研究
5-1 帶有非線性聯軸器軸系力學和數學模型的建立
在第三章，根據試驗的基礎建立了具有非線性遲滯特性聯軸器的恢復力模型。這一章，將研究一個帶有這種聯軸器的軸系如圖5-1所示，該軸系有n個圓盤，由鋼絲繩聯軸器與主機相連接，按以下原則建立力學模型：
1.每個圓盤均視為剛性勻質，所有圓盤的質量mi都有不同程度的偏心距ei。轉軸軸線垂直通過各圓盤的幾何中心；
2.設軸承、軸承座以及聯軸器各向同性，靜坐標系如圖5-1所示，支座處理成簡支；
3.聯軸器從動端處理成一集中質量mb，由于聯軸器主動端與主機軸相連接，主機軸相對軸系軸來說，較短較粗，剛性較大，變形較小，故將聯軸器主動端、主機軸視為一體，位移為零，聯軸器從動端與主動端之間由非線性彈簧及非線性阻尼器聯結；
4.軸系為小位移振動，且忽略回轉效應。
當主機以角速度ω轉動時，軸系在各偏心力的作用下產生穩態振動，其運動微分方程可表示為：
式中
，
，
，分別為軸系的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。其中阻尼矩陣=a+b，a，b為比例常數。
=[m1e1ω2sin（ωt+
）…mnenω2sin（ωt+
）
]T
其中：yi,zi分別為軸系中第i個圓盤在y,z方向的位移分量；
i=dyi/dt，
i=d2yi/dt2，
i=dzi/dt，
b=d2zi/dt2分別為對應于位移分量yi,zi的速度和加速度，yb,zb為聯軸器從動端集中質量塊mb在y,z方向的位移；b=dyb/dt，b=d2yb/dt2，b=dzb/dt，b=d2zb/dt2分別為對應于位移分量yb,zb的速度和加速度；
，
為y,z方向的激勵力向量，其中mieiω2cos（ωt+
），mieiω2sin（ωt+）分別為y,z方向的偏心力分量；（
，yb，b，ωt),（
，zb，b，ωt）分別為非線性彈性聯軸器恢復力在y,z方向的分量。為第i個圓盤質量偏心的初相位角，即軸系靜止時，第i個圓盤質心和幾何中心連線與水平軸的夾角。
由于假設軸承、軸承座以及聯軸器各向同性，式（5-1〕、式（5-2）解法相同，只需要討論二者之一即可。
式（5-l）表示一個局部非線性彈性和阻尼元件的振動系統，對這種系統，按現有常規方法來求解是非常困難的，為此，本文以GILM為基礎發展了一種稱為SSGILM(Separate System-Gal-erkin and Improved Levenbery-Marquar-dt）的方法來求解此類微分方程組。
5-2 SSGILM法
一.振動微分方程組的改寫和解耦
首先把有局部非線性系統振動微分方程組（5-1）式改寫成只有線性常系數的微分方程組和一個具有非線性變參數的微分方程兩部分：
式中：
式（5-4）的Py中含有yb和b而（5-5）的Fj中含有yj，j（j=1，2，… n）。這樣，軸系分成運動微分方程耦聯的兩個子系統—線性軸系子系統和非線性聯軸器子系統。
式（5-4）為線性方程，按常規方法可求出無阻尼的各階固有頻率pi以及對應的主振型Yi向量（i=1，2，…，n），Yi分別除以相應廣義質量的平方根
（Mi=
MYi）得到正則振型YNi向量。引入正則振型坐標WNi，對（5-4）式進行坐標變換；
式中，WNi為正則振型向量WN中的第i個分量，
Ni和
Ni，分別為它對時間t的一次導數和二次導數；I為單位矩陣；
i=（a+
）/2Pi=cii2pimi為振型比例阻尼比；PNi為PN=
Py激勵力向量中的第i個分量。
經正則坐標變換，雖然得到互不耦合的線性微分方程組（5-9)，但是（5-9）式仍然不能像單自由度振動系統那樣求解，因為（5-9）式中的激勵力包含未知的振動位移yb和振動速度b。如果yb已知，就可以從（5-9）式中解得WNi，進而可以由（5-7）式得到各yi。因此需要求得yb。
圖5-1所示軸系在主機帶動下轉動時，各圓盤質量偏心將產生周期偏心激勵力，根據第二章的試驗結果，聯軸器非線性恢復力Q是時間的周期函數，因此當軸系中有聯軸器這種局部非線性元件時，可以設它的位移響應是周期性的，即假設yb有下面的形式：
由式（5-6）、（5-8）和（5-9）可知，激勵力由二類力構成，一類是質量偏心力mieiω2cos（ωt+），另一類是恢復力-ki（n+1）yb-ci（n+1）b，為求解（5-8）式方便，將（5-10）代入（5-8）式，并將正則激勵力分解成：
PN=Py=PN1+PN2 （5-11）
式中：
由（5-11）和（5-12）式可知，若{a}已知，就可以由（5-12）式求出各WNi，代WNi入（5-7）式，可以得到各yi。由此可以把求yb的問題轉化為求{a}=[a0 a1 
T的問題。
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